评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中定义了函数 \(F(x) = x\ln\frac{1+x}{1-x} + \cos x - \frac{x^2}{2} - 1\)，与标准答案中定义的函数一致。求导过程基本正确，得到 \(F'(x) = \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{(1-x)(1+x)} - \sin x - x\)，这与标准答案的导数形式等价（标准答案为 \(\ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^2} - \sin x - x\)，而 \(\frac{2x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2x}{1-x^2}\)）。学生正确指出 \(F'(0) = 0\)，并分析了单调性：当 \(x \in (-1,0)\) 时 \(F'(x) < 0\)，当 \(x \in (0,1)\) 时 \(F'(x) > 0\)，从而得出 \(F(x)\) 在 \(x=0\) 处取得极小值，且 \(F(0) = 0\)，因此 \(F(x) \geq 0\)，即原不等式成立。

然而，学生在单调性分析中存在逻辑错误。标准答案中通过分 \(x>0\) 和 \(x<0\) 分别讨论 \(F'(x)\) 的符号，而学生直接断言 \(F'(x) < 0\) 对 \(x \in (-1,0)\) 和 \(F'(x) > 0\) 对 \(x \in (0,1)\)，但未提供详细证明。实际上，\(F'(x)\) 的符号并非显然，例如在 \(x \in (-1,0)\) 时，\(\ln\frac{1+x}{1-x} < 0\)，\(\frac{2x}{1-x^2} < 0\)，且 \(-\sin x - x\) 的符号需进一步分析，学生未给出充分论证，因此存在逻辑不严谨之处。尽管最终结论正确，但证明过程不完整，扣2分。

得分：8分（满分10分）。

题目总分：8分