评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生首先写出 \(A^TA\) 的表达式，但表达式错误（例如第1行第3列应为 \(1-a\)，但学生写为 \(1 - a\)，可能是识别问题，但整体矩阵形式与正确结果相差较大）。然后利用 \(r(A^TA)=2\) 推出 \(|A^TA|=0\)，这一步思路正确。但学生未正确计算 \(|A^TA|\)，也未利用 \(r(A)=r(A^TA)\) 这一关键性质，而是直接讨论 \(A^TA\) 为奇异矩阵（虽然正确，但未求出 \(a\) 的值）。由于未得到 \(a=-1\) 这一正确结果，且关键步骤缺失，扣分较多。给分：1分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生未进行第（Ⅱ）问的解答，没有计算特征值、特征向量，也没有给出正交变换矩阵和标准形。因此该部分得分为0分。

题目总分：1+0=1分