评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出最大值区域为圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并使用极坐标变换计算积分。计算过程正确，最终结果 \(8\pi\) 正确。但坐标变换中 \(x = 2r\cos\theta, y = 2r\sin\theta\) 的雅可比行列式应为 \(4r\)，学生写为 \(4r\) 但积分表达式为 \((4 - 4r^2)4r\)，其中 \(4 - 4r^2\) 正确（因 \(x^2 + y^2 = 4r^2\)），但积分限 \(r\) 从 0 到 1 正确，计算无误。因此本部分逻辑正确，结果正确。
得分：6分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生设 \(P, Q\) 正确，但计算偏导数时出现严重错误：\(\frac{\partial P}{\partial y}\) 的计算结果错误（表达式复杂且不正确），且错误地得出 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)（实际上不相等，原积分与路径有关）。后续选择曲线 \(7x^2 + 4y^2 = 1\) 无依据（应为椭圆 \(x^2 + 4y^2 = 1\)），且被积函数替换为 \((e^{x+y})dx + (4e^y - x)dy\) 完全错误，与原始被积函数无关。格林公式应用错误，计算过程无效。仅最终答案 \(\pi\) 与标准答案 \(-\pi\) 符号相反，但推理全错。
得分：0分

题目总分：6+0=6分