评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确判断A为实对称矩阵，并正确求出特征值：a-1（二重）和a+2（得2分）
• 特征向量求解存在逻辑错误：对于λ₁=a-1给出的特征向量α₁=(1,0,1)ᵀ和α₂=(1,-1,0)ᵀ，验证发现Aα₁=(a-1,1,a-1)ᵀ，不是特征向量，说明特征向量求解错误（扣1分）
• 正交化过程错误：在已经给出单位化向量的情况下又进行错误的正交化，且正交化结果η₂=(1/2,-3/2,1/2)ᵀ明显错误（扣1分）
• 最终给出的正交矩阵P不正确

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

• 学生正确识别出C²=(a+3)E-A的特征值为4,4,1（得1分）
• 正确指出C的特征值应为2,2,1（得1分）
• 但后续没有给出具体的正定矩阵C的构造过程和计算结果，解答不完整（扣4分）
• 最后一句"即为实对称阵"表述不准确，应为正定矩阵

题目总分：4+2=6分