评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，但在关键步骤存在逻辑错误和计算错误。

• 学生正确将 \(y_2(x) = \mu(x)e^x\) 代入微分方程，并推导出关于 \(\mu(x)\) 的微分方程 \((2x-1)\mu'' + (2x-3)\mu' = 0\)，这一步与标准答案等价（标准答案为 \((2x-1)\mu'' = (3-2x)\mu'\)，两者可通过移项相互转化），思路正确不扣分。
• 在求解 \(\mu'(x)\) 时，学生令 \(u'(x) = y(x)\)，得到方程 \((2x-1)y' + (2x-3)y = 0\)，分离变量后积分得到 \(-\ln y = x - \ln(2x-1) + C_1\)。这里积分过程有误：\(\int (1 - \frac{2}{2x-1})dx = x - \ln|2x-1| + C\)，但学生写为 \(x - \ln(2x-1) + C_1\)，缺少绝对值符号，但在后续代入初值时不涉及负值区域，可视为笔误不扣分。
• 关键错误在于从 \(-\ln y = x - \ln(2x-1) + C_1\) 推导出 \(y = u'(x) = \frac{2x-1}{e^{x+C_1}}\) 时，指数运算错误。正确应为 \(y = e^{-x + \ln|2x-1| - C_1} = e^{-C_1}(2x-1)e^{-x}\)（这里忽略绝对值因初值条件），但学生写为分母形式，导致表达式错误。此处为逻辑错误，扣2分。
• 在积分求 \(\mu(x)\) 时，学生得到 \(\mu(x) = e^{-x-C_1}(-2x-1) + C_2\)，但根据错误的 \(u'(x)\) 表达式，积分结果必然错误。实际积分 \(\int (2x-1)e^{-x}dx\) 应得 \(-2xe^{-x} - e^{-x} + C\)，学生结果形式接近但系数和指数错误，扣2分。
• 代入初值 \(\mu(-1)=e, \mu(0)=-1\) 时，学生使用错误表达式仍解出 \(C_1=0, C_2=0\)，但这是因为错误表达式在代入初值时偶然满足条件，不弥补前述错误。
• 最终得到 \(\mu(x) = e^{-x}(-2x-1)\)，但根据标准答案 \(\mu(x) = -2xe^{-x} - e...