评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题需要计算函数 \(f(x)=x^{2}(e^{x}-1)\) 在 \(x=1\) 处的5阶导数值。标准答案是 \(31e\)，而学生给出的答案是 \(26e\)。

分析计算过程：

1. 设 \(g(x) = x^2\)，\(h(x) = e^x - 1\)，则 \(f(x) = g(x)h(x)\)
2. 使用莱布尼兹公式求5阶导数：\(f^{(5)}(x) = \sum_{k=0}^{5} C_5^k g^{(k)}(x)h^{(5-k)}(x)\)
3. 计算各阶导数：
   • \(g(x) = x^2\)，\(g'(x) = 2x\)，\(g''(x) = 2\)，\(g^{(k)}(x) = 0\)（当 \(k \geq 3\)）
   • \(h(x) = e^x - 1\)，\(h^{(n)}(x) = e^x\)（对所有 \(n \geq 1\)）
4. 代入莱布尼兹公式： \(f^{(5)}(x) = C_5^0 \cdot x^2 \cdot e^x + C_5^1 \cdot 2x \cdot e^x + C_5^2 \cdot 2 \cdot e^x\)
5. 化简得：\(f^{(5)}(x) = x^2 e^x + 10x e^x + 20 e^x\)
6. 代入 \(x=1\)：\(f^{(5)}(1) = 1^2 \cdot e + 10 \cdot 1 \cdot e + 20 \cdot e = (1 + 10 + 20)e = 31e\)

学生答案 \(26e\) 与正确结果 \(31e\) 不符，说明计算过程中存在逻辑错误。可能是在应用莱布尼兹公式时系数计算错误，或者导数计算有误。

由于答案错误，且存在计算逻辑错误，本题得分为0分。

题目总分：0分