评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是-1，而标准答案是-1/π。函数f(x)=x+1在[0,π]上展开为余弦级数时，系数a_n需要通过傅里叶系数公式计算：a_n = (2/π)∫₀^π f(x)cos(nx)dx。计算可得a_{2n-1} = -4/(π(2n-1)²)，因此lim n²sin(a_{2n-1}) = lim n²sin(-4/(π(2n-1)²)) ≈ -4/π。但标准答案给出的是-1/π，说明可能采用了不同的归一化系数（如展开式中的a₀/2项）。实际上，若展开式为f(x)=a₀/2+∑a_n cos(nx)，则a_n的计算公式为a_n=(2/π)∫₀^π f(x)cos(nx)dx。计算a₀=2/π∫₀^π (x+1)dx=π+2，a_n=(2/π)∫₀^π (x+1)cos(nx)dx。对于n≥1，通过分部积分可得a_n=2/(πn²)[(-1)^n -1]。因此当n为奇数时，a_n=-4/(πn²)。对于a_{2n-1}，代入得a_{2n-1}=-4/(π(2n-1)²)。当n→∞时，a_{2n-1}→0，利用sin x ~ x (x→0)，有sin(a_{2n-1}) ~ a_{2n-1}，因此n²sin(a_{2n-1}) ~ n² * [-4/(π(2n-1)²)] → -4/(π*4) = -1/π。学生答案-1与-1/π不符，存在计算错误，因此得0分。

题目总分：0分