评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题考查柯西-施瓦茨不等式在矩阵二次型中的推广形式。题目要求对任意实向量α,β都满足不等式，这等价于要求矩阵A半正定（因为当A半正定时，由二次型定义的内积满足柯西-施瓦茨不等式）。

计算矩阵A的特征值： det(λI-A) = det[[λ-a-1, -a], [-a, λ-a]] = (λ-a-1)(λ-a)-a² = λ²-(2a+1)λ+a(a+1)-a² = λ²-(2a+1)λ+a

特征值为：λ = [(2a+1)±√((2a+1)²-4a)]/2 = [(2a+1)±√(4a²+4a+1-4a)]/2 = [(2a+1)±√(4a²+1)]/2

由于√(4a²+1) > |2a+1|，两个特征值都是实数。要使A半正定，需要所有特征值≥0，即：

[(2a+1)-√(4a²+1)]/2 ≥ 0

化简得：2a+1 ≥ √(4a²+1)

两边平方（因为两边都非负）：4a²+4a+1 ≥ 4a²+1

化简得：4a ≥ 0，即a ≥ 0

学生作答"0<a<1"存在以下问题：

1. 只考虑了a>0的部分，忽略了a=0的情况（当a=0时，A=[[1,0],[0,0]]半正定）

2. 错误地添加了上界a<1，实际上当a≥0时矩阵A都是半正定的

3. 给出的范围不完整且包含错误限制

由于学生答案与正确答案[a, +∞)有本质差异，得0分。

题目总分：0分