评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第(1)问的证明思路与标准答案不同，但采用了泰勒-拉格朗日公式进行证明，这是一种有效的替代方法。具体步骤包括：

• 对目标不等式进行等价变形，得到 \(\left|\frac{f(x)-f(0)}{x} - \frac{f(1)-f(x)}{1-x}\right| \leq \frac{1}{2}\)。
• 利用泰勒-拉格朗日公式展开 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处，代入变形后的表达式。
• 利用条件 \(f'(0) = f'(1)\) 和 \(|f''(x)| \leq 1\)，推导出不等式成立。

该证明逻辑清晰，步骤完整，且正确使用了已知条件，因此应得满分。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中未涉及第(2)问的证明。第(2)问要求证明积分不等式，但学生的回答仅针对第(1)问，未对第(2)问进行任何推导或说明。根据评分要求，未作答部分不得分。

得分：0分

题目总分：6+0=6分