评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，利用了积分区域的对称性（虽然表述中写的是“利用奇偶性”但实际是区域对称性）和极坐标变换，最终计算结果与标准答案一致。但存在以下逻辑错误：

• 在步骤1中，学生表述“利用奇偶性可知\(\iint_{D_1}dxdy = 2\iint_{D_1}dxdy\)”存在逻辑错误，应为\(\iint_D f dxdy = 2\iint_{D_1} f dxdy\)，其中\(D_1\)是上半部分区域。此处扣1分。
• 在步骤2中，极坐标变换后的积分区域划分和表达式较为复杂，但计算过程正确。不过，学生将积分变量\(r\)的上下限写为\(\frac{1}{\cos\theta}\)和\(\frac{1}{\sin\theta}\)，这对应于直线\(x=1\)和\(y=1\)，但原区域\(D\)的边界是\(x=1\)和\(x=\sqrt{1-y^2}\)（即单位圆右半部分），在极坐标下应为\(r=\frac{1}{\cos\theta}\)和\(r=1\)（对于\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\)）以及\(r=\frac{1}{\sin\theta}\)和\(r=1\)（对于\(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)），但学生直接用了正方形区域减去圆形区域的方法，导致表达式复杂化，虽最终正确，但增加了计算难度，此处不额外扣分，但步骤1的逻辑错误已扣分。
• 在步骤3和4中，定积分计算正确，最终结果正确。

综上，由于步骤1的逻辑错误，扣1分，得9分。

题目总分：9分