评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是：\(y = C_1 e^x + \left(C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) e^{-\frac{x}{2}}\)。该微分方程 \(y^{\prime \prime \prime} - y = 0\) 的特征方程为 \(r^3 - 1 = 0\)，解得特征根为 \(r = 1\) 和 \(r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)。因此，通解应为 \(y = C_1 e^x + e^{-\frac{x}{2}}\left(C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\)。学生的答案在结构上与正确通解一致，包含了三个线性无关的解，且常数项使用 \(C_1, C_2, C_3\) 表示，符合通解形式。因此，该答案正确，得5分。

题目总分：5分