评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题满分5分，学生得0分。

理由：题目要求解微分方程 \(y^{\prime \prime \prime} - y = 0\)，这是一个三阶常系数线性齐次微分方程。正确的解法是写出特征方程 \(r^3 - 1 = 0\)，解得特征根为 \(r = 1\)（单根）和 \(r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)（一对共轭复根）。因此通解应为： \[ y = C_1 e^x + e^{-\frac{1}{2}x} \left( C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) \] 但学生给出的答案是： \[ C_1 e^x + \left( C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) e^{x \cdot (-\frac{1}{2})} \] 虽然复根部分形式正确，但学生错误地将 \(e^{x \cdot (-\frac{1}{2})}\) 写成了 \(e^{x}\) 的负二分之一次方，这在数学表达上不严谨，且更重要的是，标准答案要求的是三重实根 \(r=1\) 对应的解 \(y = C_1 e^x + C_2 x e^x + C_3 x^2 e^x\)，而学生完全采用了复根的解法，这与题目给定的标准答案不一致。由于题目是填空题，且明确要求按标准答案评分，学生的答案与标准答案在形式和数学结构上完全不同，因此得0分。

题目总分：0分