评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确求解了微分方程，得到了通解 \(y = 1 + Cx^6\)，并利用初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 求出 \(C = \frac{1}{3}\)，最终得到 \(y(x) = 1 + \frac{1}{3}x^6\)。虽然积分因子计算过程中写为 \(e^{-\int\frac{6}{x}dx} = x^{-6}\)（应为 \(e^{\int\frac{6}{x}dx} = x^6\)），但后续代入正确，且最终结果正确，可视为笔误，不扣分。因此本小题得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确写出法线方程，并令 \(X=0\) 得到截距表达式 \(Y = \frac{1}{2x^{-4}} + \frac{1}{3}x^6 + 1\)（整理后应为 \(\frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}x^6 + 1\)）。但在求导时出现两处不同表达式：一处为 \(Y' = -\frac{3}{2}x^{-4} + 2x^5\)，并解出 \(x = \sqrt[9]{\frac{3}{4}}\)；另一处为 \(y' = -2x^{-5} + 2x^5\)，解出 \(x=1\)。前者推导有误（系数错误），后者正确且与标准答案一致，并正确判断单调性得出 \(x=1\) 为极小值点。由于存在正确解法并得到正确坐标 \(P(1, \frac{4}{3})\)，但过程中有错误推导，扣2分。本小题得4分。

题目总分：6+4=10分