评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确计算了特征多项式 |λE-A| = (λ-b)(λ-1)(λ-3)，得出了特征值λ₁=1，λ₂=3，λ₃=b。这部分与标准答案一致，得2分。

在分析b=1和b=3两种情况时，学生虽然思路正确，但表述混乱，存在逻辑错误：在b=3时，学生先写"b=1/3"（可能是笔误），然后重新推导得到b=3,a=-1，这部分表述不清晰，扣1分。

最终得1分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确分析了两种情况：

当b=1时，得出a=1，并求出了对应的特征向量(-1,1,0)ᵀ和(0,0,1)ᵀ（对应λ=1），以及(1,1,1)ᵀ（对应λ=3）。

当b=3时，得出a=-1，并求出了对应的特征向量(1,1,0)ᵀ和(0,0,1)ᵀ（对应λ=3），以及(-1,1,1)ᵀ（对应λ=1）。

这部分与标准答案一致，但在特征向量的表述上有些混乱，扣1分。最终得3分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生提到了"存在可逆矩阵P"，但没有明确写出具体的P矩阵形式。虽然通过特征向量的计算已经隐含了构造P的方法，但没有给出完整的答案，扣2分。

最终得2分。

题目总分：1+3+2=6分