评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 错误1：学生误用了高斯公式（散度定理）来计算曲线积分。高斯公式适用于封闭曲面上的曲面积分与体积分的关系，而本题是曲线积分，应该使用斯托克斯公式。这是根本性的概念错误。
• 错误2：在计算散度时，学生写出的表达式 \(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=- 2xz+z^{2}\) 是错误的。正确计算应为：\(\frac{\partial P}{\partial x} = 0\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y} = 0\)，\(\frac{\partial R}{\partial z} = 2xy + x\cos z\)，所以散度应为 \(2xy + x\cos z\)，而不是 \(-2xz+z^{2}\)。
• 错误3：学生试图通过添加辅助曲面将问题转化为体积分，但在曲面选取和方向处理上存在混乱，且后续的三重积分计算基于错误的被积函数。
• 错误4：坐标变换和积分计算过程复杂且基于错误的前提，最终得到错误结果 \(\frac{4}{3}(\pi - 2)\)，而正确答案应为0。

由于学生完全采用了错误的方法（使用高斯公式而非斯托克斯公式），且计算过程中存在多处根本性错误，导致最终答案错误。按照评分标准，逻辑错误需要扣分。考虑到学生展示了完整的计算过程，但方法选择错误且计算错误，给予部分步骤分。

得分：3分（主要扣分点：方法选择错误-5分，散度计算错误-2分，最终答案错误-2分）

题目总分：3分