评分及理由

（1）必要性证明部分得分及理由（满分6分）

学生作答中未提供必要性（即由$f''(x) \geq 0$推出不等式）的证明，因此该部分得0分。

（2）充分性证明部分得分及理由（满分6分）

学生尝试证明充分性，但存在严重逻辑错误：

• 错误应用积分中值定理：将$\int_a^b f(x)dx$写成$f(\xi)(b-a)$，但此处$\xi$一般依赖于$f$，不能直接与$f\left(\frac{a+b}{2}\right)$比较得出最小值结论。
• 错误推理：由$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq f(\xi)$不能推出$f\left(\frac{a+b}{2}\right)$是区间上的最小值。
• 未正确使用泰勒公式：虽然写出了泰勒公式，但未与积分关联，也未利用$f''(x)$的符号进行推导。
• 未完成反证法：没有假设存在$x_0$使$f''(x_0)<0$并导出矛盾。

该部分仅得1分，因学生意识到需使用泰勒公式和积分中值定理，但推理完全错误。

题目总分：0+1=1分