评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 (4,5,2)^T。标准答案是 (4k,5k,2k)^T，其中 k 为任意常数。题目要求找出在两组基下有相同坐标的向量，这意味着该向量在两组基下的坐标表示相同。从线性代数的角度，这等价于求一个向量，它在从基 {α₁,α₂,α₃} 到基 {β₁,β₂,β₃} 的基变换下坐标不变，即求解方程 (β₁,β₂,β₃)X = (α₁,α₂,α₃)X，其中 X 是坐标向量。这可以转化为求矩阵 (α₁,α₂,α₃)⁻¹(β₁,β₂,β₃) 的特征值为 1 的特征向量。

经过计算，该特征向量确实对应于方向 (4,5,2)^T，但通解应为 k(4,5,2)^T，k 为任意常数。学生只给出了 k=1 时的特解，而题目要求的是所有满足条件的向量，因此学生的答案不完整，没有包含任意常数的通解形式。

由于题目是填空题，且标准答案明确要求写出通解形式，学生只给出一个特解，属于逻辑不完整，因此扣分。但考虑到学生找到了正确方向，给予部分分数。

得分：3分（扣2分，因未写出通解）。

题目总分：3分