评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确建立了积分方程和初始条件，通过求导得到微分方程，并正确使用代换法求解。求解过程中分离变量、积分、利用初始条件确定常数均正确，最终得到正确表达式 \( y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)。但学生在分离变量时写为 \(\frac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = 1\)，应为 \(\frac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = dx\)，这是一个逻辑错误，但后续积分步骤正确，且最终结果无误，说明是书写疏忽。根据“误写不扣分”原则，此处不扣分。该部分解答完整正确，得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确写出弧长公式，并利用（Ⅰ）中导出的关系 \(\sqrt{1 + (y')^2} = y''\)，但实际计算时直接代入 \(y' = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)，得到 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)，积分后利用原函数 \(y'\) 计算，方法与标准答案一致，结果正确。计算过程无误，得6分。

题目总分：6+6=12分