评分及理由

（1）步骤一：凑微分与分部积分（满分4分）

学生正确使用凑微分法，将原积分化为 \(\frac{1}{2}\int \ln(x+\sqrt{1+x^2}) d\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\)，并应用分部积分法。但在分部积分后的第二项中，学生写为 \(-\int \frac{1}{2} \frac{1}{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx\)，而标准答案为 \(+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x^2-1)\sqrt{1+x^2}} dx\)。注意到 \(x^2-1 = -(1-x^2)\)，因此学生漏了一个负号，导致表达式符号错误。但整体思路正确，计算过程基本完整。扣1分。

得分：3分

（2）步骤二：计算积分 \(I\)（满分6分）

学生正确使用三角代换 \(x = \tan t\)，但在化简过程中出现错误：

• 代入后得到 \(\frac{1}{2} \int \frac{\sec t}{1-\tan^2 t} \sec t dt = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2 t}{1-\tan^2 t} dt\)，但学生写为 \(\frac{1}{2} \int \frac{\sec t}{1-\tan^2 t} dt\)，漏了一个 \(\sec t\)。
• 后续令 \(u = \sin t\) 时，积分应化为 \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-2u^2} du\)，但学生写为 \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-2\sin^2 t} du\)，表达式不规范。
• 积分结果 \(\frac{\sqrt{2}}{4} \ln \left| \frac{1+\sqrt{2}\sin t}{1-\sqrt{2}\sin t} \right|\) 正确，但未化简为关于 \(x\) 的表达式（仅保留 \(\sin(\arctan x)\) 形式），未达到最简形式。

由于存在多个计算错误和未化简完整，扣3分。

得分：3分

（3）步骤三：最终结果（满分2分）

学生将各部分组合得到最终表达式，但由于前两步存在符号错误和未化简问题，最终结果不正确。表达式包含 \(\sin(\arctan x)\)，未化...