评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分，学生作答存在多处严重错误，具体扣分如下：

• 分区错误：学生将积分区域的分割曲线误写为 \(x \leq \sqrt{1+y^2}\)（应为 \(x \leq \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\)），导致整个积分区域划分错误，扣4分。
• 被积函数错误：在 \(D_1\) 区域，学生将 \(f(x,y) = x\arctan^2 y\) 误写为 \(x\arctan y\)，扣2分；在 \(D_2\) 区域，将 \(f(x,y) = \frac{x^2 y}{\sqrt{2}x + 1}\) 误写为 \(\frac{x-y}{\sqrt{2x+1}}\)，扣2分。
• 积分上下限错误：在 \(D_2\) 区域对 \(y\) 的积分下限误写为 \(\frac{1}{x}-1\)（应为 \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)），扣2分。
• 计算过程错误：在计算 \(D_1\) 部分积分时，学生错误地得到 \(\frac{1}{6}(\frac{\pi}{4})^3\)（应为 \(\frac{\pi^3}{384}\)），扣1分；在 \(D_2\) 部分积分计算中出现表达式 \(\frac{1}{2}(\sqrt{2}x - x)\) 等错误，扣1分。

综上，扣除总分10分，本题得2分。

题目总分：2分