评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确判断了单特征值不等于0时的情况：特征值为4,0,0，并正确计算了迹得到λ=4（2分）。正确给出了特征向量(1,1,0)ᵀ和(-1,1,2)ᵀ作为基础解系（1分）。正确构造了可逆矩阵P并计算了A（2分）。正确给出了Ax=0的通解形式（1分）。

但存在以下问题：

1. 矩阵P的构造中，第三列应为单特征值对应的特征向量(1,-1,1)ᵀ，但学生写成了(1,1,1)ᵀ，这是逻辑错误（-1分）
2. 虽然最终计算出的A矩阵正确，但这是巧合，因为错误的P和P⁻¹相乘后恰好得到了正确结果，但推导过程有误

得分：6-1=5分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确判断了单特征值等于0时的情况：特征值为0,2,2（1分）。正确理解了A+2E的特征值为2,4,4（1分）。

但存在严重问题：

1. 错误地认为A+2E就是B，而题目要求的是B使得A=B²-2E（-2分）
2. 在计算A时，错误地使用了与第（Ⅰ）问相同的矩阵，而实际上这时的特征值分布不同，A应该是不同的（-2分）
3. 没有给出正确的正定矩阵B的表达式（-2分）
4. 计算出的A+2E矩阵也是错误的

得分：2-6=0分（最低0分）

题目总分：5+0=5分