评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题要求学生求微分方程 \(y^{\prime \prime \prime}-y=0\) 的通解。标准答案为 \(y=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}+c_{3} x^{2} e^{x}\)，其中 \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) 为任意常数。

学生给出的答案为 \(y=C_{1}e^{x}+e^{-\frac {1}{2}x}(C_{2}\sin\frac {\sqrt {3}}{2}x + C_{3}\cos\frac {\sqrt {3}}{2}x)\)，其中 \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) 为常数。该答案对应于微分方程的特征方程 \(r^3 - 1 = 0\) 的根 \(r = 1\) 和 \(r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)，因此是微分方程的一个正确通解形式。

尽管学生答案的形式与标准答案不同，但根据打分要求第3条“思路正确不扣分：对于思路与标准答案不一致但是正确的不扣分”，该答案在数学上是正确的，且没有逻辑错误。因此，应给予满分5分。

题目总分：5分