评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(2x + 3y + z = 0\)，而标准答案是 \(x + 2y - z = 0\)。计算曲面在点 \((0,0,0)\) 处的切平面方程需要先求出曲面在该点处的法向量。曲面由 \(z = f(x,y) = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)\) 给出，法向量为 \(( -f_x, -f_y, 1 )\) 在点 \((0,0)\) 处的值。计算偏导数：\(f_x = 1 + \frac{2x}{1+x^2+y^2}\)，在 \((0,0)\) 处 \(f_x = 1\)；\(f_y = 2 + \frac{2y}{1+x^2+y^2}\)，在 \((0,0)\) 处 \(f_y = 2\)。因此法向量为 \((-1, -2, 1)\)，切平面方程为 \(-1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0\)，即 \(x + 2y - z = 0\)。学生答案中的系数 \(2\) 和 \(3\) 与正确偏导数 \(1\) 和 \(2\) 不符，存在计算逻辑错误，因此不得分。

题目总分：0分