评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(\frac{2}{n\pi^{2}}\)，这与标准答案 0 不符。题目要求计算傅里叶余弦级数展开中偶数项系数之和 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}\)。根据已知条件，函数 \(f(x) = 1 - x\) 在区间 \([0,1]\) 上定义，并周期延拓为偶函数（因为展开为余弦级数）。计算傅里叶系数 \(a_n\) 时，\(a_n = 2 \int_0^1 (1-x) \cos(n\pi x) \, dx\)。通过积分计算可得 \(a_n = \frac{2(1 - \cos(n\pi))}{n^2 \pi^2}\)。对于偶数 \(n\)，即 \(n=2k\)，有 \(\cos(2k\pi) = 1\)，因此 \(a_{2k} = 0\)。从而 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} = 0\)。学生答案 \(\frac{2}{n\pi^{2}}\) 不符合此结果，且存在逻辑错误（如未正确计算系数或求和），因此不得分。

题目总分：0分