评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程 \(x = y - xy'\)，并变形为 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，然后使用一阶线性微分方程的通解公式求解，得到通解 \(y = Cx - x\ln x\)，代入初始条件 \(y(1)=2\) 得到 \(C=2\)，最终结果为 \(y(x) = 2x - x\ln x\)，这与标准答案 \(y(x) = x(2 - \ln x)\) 等价。解题过程完整且正确，因此得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出 \(f(x) = \int_1^x (2t - t\ln t)dt\)，并计算积分得到 \(f(x) = \frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{4} - \frac{1}{2}x^2\ln x\)。然后求导 \(f'(x) = x(2 - \ln x)\)，找到驻点 \(x = e^2\)，分析单调性得出在 \(x = e^2\) 处取得最大值，并计算最大值 \(f(e^2) = \frac{1}{4}e^4 - \frac{5}{4}\)，结果与标准答案一致。但在计算积分过程中，学生将 \(\int_1^x t\ln t dt\) 的结果写为 \(\frac{1}{2}x^2\ln x - \frac{1}{4}(x^2 - 1)\)，而标准计算应为 \(\frac{1}{2}x^2\ln x - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}\)，但学生后续代入 \(f(x)\) 时正确合并了常数项，最终表达式正确，且最终结果无误，因此不扣分。得满分5分。

题目总分：5+5=10分