评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(\frac{1}{2}(\arctan 1 + \frac{\pi}{2})\)。首先需要分析这个答案的正确性。

原积分为 \(\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{x^{2}+2x+5} dx\)。将分母配方：\(x^2+2x+5 = (x+1)^2+4\)，因此积分化为 \(\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{(x+1)^2+4} dx\)。

令 \(t = x+1\)，则当 \(x \to -\infty\) 时 \(t \to -\infty\)，当 \(x=1\) 时 \(t=2\)。积分变为 \(\int_{-\infty}^{2} \frac{1}{t^2+4} dt\)。

标准积分公式：\(\int \frac{1}{t^2+a^2} dt = \frac{1}{a} \arctan\frac{t}{a} + C\)，这里 \(a=2\)。

因此，\(\int_{-\infty}^{2} \frac{1}{t^2+4} dt = \frac{1}{2} \left[\arctan\frac{t}{2}\right]_{-\infty}^{2} = \frac{1}{2} \left[\arctan 1 - \arctan(-\infty)\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2})\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{8}\)。

学生答案为 \(\frac{1}{2}(\arctan 1 + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{8}\)，计算结果与标准答案一致。

虽然学生的表达形式与标准答案不同（使用了反三角函数符号和分数组合），但经过计算验证结果正确。根据评分...