评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确计算了绕x轴旋转的体积 \(V_x = \pi \int_0^a (x^{1/3})^2 dx = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}\)，与标准答案一致，得2分。

学生使用柱壳法计算绕y轴旋转的体积 \(V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot x^{1/3} dx\)，但实际计算中采用了圆盘法（或切片法）的表达式：\(V_y = \pi a^2 \cdot a^{1/3} - \pi \int_0^{a^{1/3}} y^6 dy\)，该表达式正确且计算结果为 \(\frac{6\pi}{7} a^{7/3}\)，与标准答案一致，得3分。

学生根据 \(V_y = 10V_x\) 列出方程 \(\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = 10 \times \frac{3\pi}{5} a^{5/3}\)，并正确化简得到 \(a^{2/3} = 7\)，得3分。

学生正确求解 \(a = 7\sqrt{7}\)，得2分。

尽管学生在列方程时写成了 \(10\pi \int_0^a x^{2/3} dx = \pi a^{7/3} - \pi \int_0^{a^{1/3}} y^6 dy\)，但实际计算中两边都正确计算并化简，未影响最终结果，视为笔误不扣分。

本题满分10分，学生得分10分。

题目总分：10分