评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确识别了问题本质是求距离函数 \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) 在约束条件下的最值，并尝试使用拉格朗日乘数法求解。拉格朗日函数构造正确，求偏导的表达式也基本正确（尽管书写形式略有不同，但等价于标准答案）。学生找到了可能的极值点 (1,1)，这是正确的条件极值点。

然而，学生存在以下主要问题：

• 逻辑错误1： 学生只找到了一个可能的极值点 (1,1)，但没有讨论边界点 (0,1) 和 (1,0)。题目明确要求 \( x \geq 0, y \geq 0 \)，因此曲线端点 (0,1) 和 (1,0) 必须在考虑范围内。遗漏边界点分析是严重的逻辑错误。
• 逻辑错误2： 学生没有给出完整的求解过程，特别是没有说明如何从拉格朗日方程组推导出 \( x = y \)，也没有验证其他可能性（如 \( \lambda = 0 \) 或 \( x + y + 3xy = 0 \)）是否成立。这使得解答不完整。
• 逻辑错误3： 学生没有计算并比较各点的距离值。他们提到了 (1,1) 但未给出其距离，也没有计算边界点的距离，因此无法得出最长和最短距离的结论。

由于这些逻辑错误，该解答不完整且结论错误。根据评分标准，逻辑错误需扣分。考虑到学生正确使用了拉格朗日乘数法并找到了一个关键点，但遗漏了边界点和完整分析，扣分幅度较大。

得分：4分（满分10分）

题目总分：4分