评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了导数 $f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，分析了单调性：在 $(0,1)$ 上 $f'(x)<0$ 递减，在 $(1,+\infty)$ 上 $f'(x)>0$ 递增，并得出最小值 $f(1)=1$。答案完整正确。得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生证明思路正确但存在逻辑错误：

• 正确部分：由 $f(x_n) \geq 1$ 和给定条件 $\ln x_n + \frac{1}{x_n} < 1$ 推出 $x_n > 0$；通过 $\ln x_n + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$ 和单调性分析得出数列单调递增；通过 $x_n < e^{1-\frac{1}{x_{n+1}}} < e$ 得出有上界；设极限为 $a$ 并解出 $a=1$。
• 逻辑错误：在证明单调性时，学生错误地使用了 $\ln x_n + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$（应为 $\ln x_n + \frac{1}{x_n} < 1$），这导致推导 $\frac{1}{x_n} > \frac{1}{x_{n+1}}$ 和 $x_{n+1} > x_n$ 的依据不成立。尽管最终结论正确，但推理过程有缺陷。
• 扣分：由于存在关键逻辑错误，扣除2分。得4分。

题目总分：5+4=9分