评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确地将二次型展开为矩阵形式，并验证了对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top\)（注意：标准答案中写的是 \(2\alpha^\top\alpha + \beta^\top\beta\)，但这里 \(\alpha\alpha^\top\) 和 \(\alpha^\top\alpha\) 在维度上不同，前者是3×3矩阵，后者是1×1标量。学生实际上写的是 \(2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top\)，这是正确的，因为 \(\alpha\) 是列向量，\(\alpha\alpha^\top\) 是3×3矩阵，而 \(\alpha^\top\alpha\) 是标量。但标准答案中写的是 \(2\alpha^\top\alpha + \beta^\top\beta\)，这可能是一个笔误，因为 \(\alpha^\top\alpha\) 是标量，不能直接作为矩阵。学生实际使用的 \(2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top\) 是正确的，且计算过程清晰，证明了二次型对应矩阵。因此，本部分得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生在第二部分试图通过变量替换和矩阵乘法来证明标准形，但方法错误。学生令 \(x = (2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top)y\)，然后代入二次型，得到 \(x^\top A x = y^\top A^3 y\)，这不符合正交变换的定义（正交变换应满足 \(x = Qy\)，其中 \(Q\) 是正交矩阵）。学生后续的矩阵乘法计算（如 \(A^3\)）也不正确，且未正确利用特征值和特征向量的性质。标准答案通过计算 \(A\alpha\) 和 \(A\beta\) 得到特征值2和1，并利用秩得到特征值0，从而得出标准形。学生的方法逻辑错误，未正确证明标准形，因此本部分得0分。

题目总分：5.5+0=5.5分