评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 -1。根据题目条件，对于3阶矩阵A，有 \(a_{ij} + A_{ij} = 0\)，即 \(a_{ij} = -A_{ij}\)。由代数余子式的性质，矩阵的伴随矩阵满足 \(A^* = (A_{ji})\)，因此条件可写为 \(A^T = -A^*\)。两边取行列式得 \(|A^T| = |-A^*|\)，即 \(|A| = (-1)^3 |A^*| = -|A^*|\)。又因为 \(|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2\)，代入得 \(|A| = -|A|^2\)，即 \(|A|^2 + |A| = 0\)，解得 \(|A| = 0\) 或 \(|A| = -1\)。但若 \(|A| = 0\)，则 \(A^* = 0\)，由 \(A^T = -A^*\) 得 \(A^T = 0\)，即 A 为零矩阵，与题目中 A 为非零矩阵矛盾，因此 \(|A| = -1\)。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分