评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确写出了幂级数 \(S(x)\) 及其一阶、二阶导数的表达式，并通过变量替换将 \(S''(x)\) 表示为 \(\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\)。在计算 \(S''(x)-S(x)\) 时，合并得到 \(\sum_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_n]x^n\)。学生指出已知条件可变形为 \(a_n - (n+2)(n+1)a_{n+2} = 0\)（但原文写为 \(a_{n+2}-n(n-1)a_n=0\) 的变形，这里表述有轻微不准确，但本质正确），从而得出该级数为零，即 \(S''(x)-S(x)=0\)。思路完整，逻辑正确，仅有个别表述不够严谨，但不影响核心论证。因此扣1分，得4分。

（II）得分及理由（满分5分）

学生未给出第(II)问的解答，即未求解微分方程 \(S''(x)-S(x)=0\) 并利用初始条件 \(S(0)=3, S'(0)=1\) 得到 \(S(x)\) 的具体表达式。该部分完全缺失，故得0分。

题目总分：4+0=4分