评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确应用了变换 \(x = e^t\)，并正确计算了一阶和二阶导数。代入原方程后得到 \(\frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0\) 是正确的。特征方程求解正确，通解形式正确。利用初值条件 \(y(1)=2, y'(1)=6\) 求解常数 \(C_1=2, C_2=0\) 的过程正确，最终得到 \(y(x)=2x^3\)。整个推导过程逻辑清晰，计算无误。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确代入 \(y(x)=2x^3\) 得到积分 \(\int_1^2 2x^3\sqrt{4-x^2}dx\)。采用换元法，先令 \(u=x^2\)，再令 \(t=4-u\)，换元过程正确，积分上下限变换正确。积分计算 \(\int_0^3 (4t^{1/2}-t^{3/2})dt\) 正确，最终结果 \(\frac{22}{5}\sqrt{3}\) 正确。整个计算过程逻辑严密，无错误。得6分。

题目总分：6+6=12分