评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了一阶偏导和二阶偏导，并代入方程得到 \(25f_{12}'' = 1\)，从而得出 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\)。虽然二阶混合偏导 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}\) 和 \(\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}\) 的表达式中有符号错误（如 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}\) 中应为 \(+ f_{12}''\) 而不是 \(- f_{12}''\cdot2\)，且 \(f_{21}''\) 与 \(f_{12}''\) 合并时未正确处理），但最终代入方程后错误项相互抵消，得到了正确结果。考虑到核心思路正确且最终答案正确，仅扣1分。得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确利用 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\) 积分得到 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + Q(u)\)，并结合条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 确定 \(Q(u) = ue^{-u}\)。但在积分求 \(f(u,v)\) 时，对 \(ue^{-u}\) 的积分结果错误，正确应为 \(-e^{-u}(u+1)\)，学生写为 \(+(u+1)e^{-u}\)，导致符号错误。随后利用 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定 \(P(v)\) 时，因前述积分错误导致 \(P(v)\) 计算错误（正确应为 \(\frac{1}{50}v^2\)，学生得到 \(\frac{1}{50}v^2 - 2\)）。最终表达式错误。扣3分。得3分。

题目总分：5+3=8分