评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用泰勒展开的方法，思路正确，但存在逻辑错误。具体问题如下：

• 在①式和②式的推导中，将泰勒展开式分别乘以(1-x)和x后相加，但这样处理后的等式并不等于f(x)，而是等于f(x)乘以(1-x+x)=f(x)，这个步骤本身没有问题。
• 主要问题出现在余项的处理上：学生写出的余项形式为$\frac{1}{2}[f''(\xi_1)+f''(\xi_2)]x(x-1)$，这是不正确的，因为两个泰勒展开的余项不能简单相加。
• 后续的不等式推导过程混乱，出现了$x(x-1)^2+x^2(x-1)$等项，这些项在标准答案中是不存在的。
• 虽然最终得到了正确的不等式，但推导过程存在严重逻辑错误。

由于思路基本正确但推导过程存在多处逻辑错误，扣3分，得3分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确利用了第(1)问的结论进行积分，推导过程清晰正确：

• 正确写出积分不等式
• 正确计算各积分值
• 最终得到正确结论

虽然第(1)问的证明有误，但第(2)问的推导是独立且正确的，得6分。

题目总分：3+6=9分