评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生计算 \(V_1\) 的过程正确，使用了旋转体体积公式 \(\pi \int f^2(x)dx\)，并正确应用了三角恒等式和积分计算，得到 \(V_1 = \frac{\pi^2}{4}A^2\)，与标准答案一致。因此该部分不扣分。

（2）得分及理由（满分10分）

学生计算 \(V_2\) 时采用了绕y轴旋转体积的柱壳法（即 \(2\pi \int x f(x)dx\)），但计算过程中出现了逻辑错误。具体来说，学生错误地使用了公式 \(V_2 = \pi \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \cdot A - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x \cdot A \sin x dx\)，这不符合柱壳法的标准形式。柱壳法直接给出 \(V_2 = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} x f(x) dx\)，无需减去额外项。学生的错误导致后续计算偏离正确结果，因此该部分扣2分。

（3）得分及理由（满分10分）

学生根据 \(V_1 = V_2\) 建立方程并求解，但方程本身因 \(V_2\) 计算错误而错误。求解过程中代数步骤无误，但基于错误方程得到错误答案 \(A = \pi - \frac{8}{\pi}\)，与标准答案 \(\frac{8}{\pi}\) 不符。因此该部分扣2分。

题目总分：10 + 8 + 8 = 26分