评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，计算 \(V_1\) 的部分完全正确，得到 \(V_1 = \frac{\pi^2}{4}A^2\)，与标准答案一致，因此该部分不扣分。

计算 \(V_2\) 时，学生使用了绕 y 轴旋转体积的另一种方法（柱壳法或圆盘法的变形），但具体计算过程存在逻辑错误。学生将 \(V_2\) 表示为 \(\pi \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \cdot A - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x \cdot A \sin x \, dx\)，这实际上是将区域 D 绕 y 轴旋转形成的体积错误地分解为一个圆柱体积减去一个旋转体体积，但该分解方式不正确，导致后续计算错误。正确的绕 y 轴旋转体积公式应为 \(V_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x f(x) \, dx\)，学生虽然也使用了该公式的一部分，但错误地引入了额外的项 \(\frac{\pi^3}{4}A\)，导致最终 \(V_2\) 计算结果错误。因此，该部分存在逻辑错误，扣 4 分。

在求解 \(V_1 = V_2\) 时，学生基于错误的 \(V_2\) 表达式进行代数运算，虽然运算过程本身无误，但由于初始表达式错误，最终得到的 \(A = \pi - \frac{8}{\pi}\) 不正确。因此，该部分结果错误，扣 2 分。

综上，本题总扣分为 4 + 2 = 6 分，得分为 10 - 6 = 4 分。

题目总分：4分