评分及理由

（1）第一步求 \(f_x'(x,y)\) 得分及理由（满分2分）

学生作答中，对 \(f_{xy}''(x,y)\) 的积分出现错误：题目给定 \(f_{xy}''(x,y) = 2(y+1)e^x\)，但学生识别或书写为 \((2y+1)e^x\)，导致后续积分结果 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + C(x)\) 错误（应为 \((y^2+2y)e^x + \varphi(x)\)）。虽然利用条件 \(f_x'(x,0) = (x+1)e^x\) 正确求出 \(C(x) = (x+1)e^x\)，但初始积分错误属于逻辑错误。扣1分。

得分：1分

（2）第二步求 \(f(x,y)\) 得分及理由（满分3分）

学生基于错误的 \(f_x'(x,y)\) 进行积分，得到 \(f(x,y) = (y^2+2y+x)e^x + C(y)\)，并利用 \(f(0,y) = y^2+2y\) 正确求出 \(C(y)=0\)，最终表达式为 \(f(x,y) = (y^2+2y+x)e^x\)。积分过程正确，但受第一步错误影响，结果与标准答案不一致。由于思路正确但依赖错误前提，扣1分。

得分：2分

（3）第三步求驻点及极值判断得分及理由（满分5分）

学生正确求出一阶偏导数并解方程组得到驻点 \((0,-1)\)，计算二阶偏导数值 \(A=1, B=0, C=2\) 及判别式 \(AC-B^2=2>0\) 且 \(A>0\)，判断为极小值点，并计算 \(f(0,-1)=-1\)。尽管函数表达式有误，但极值点坐标和极值结果与标准答案一致，且判断逻辑完整正确。不扣分。

得分：5分

题目总分：1+2+5=8分