评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：$[\frac{2}{e^{2}},+\infty)$，标准答案：$[4\text{e}^{-2}, +\infty)$。

注意到$\frac{2}{e^{2}} = 2e^{-2}$，而标准答案为$4e^{-2}$。学生答案的区间形式正确，但数值存在差异。考虑函数$f(x,y) = \frac{x^2+y^2}{e^{x+y}}$在$x \geq 0, y \geq 0$条件下的最大值问题。通过分析可知最大值在$x=y=1$时取得，此时$f(1,1)=\frac{2}{e^2}$，但标准答案为$4e^{-2}$，说明学生可能误将分子$x^2+y^2$在$x=y=1$时的值算作2（正确），但未注意到需要满足$k \geq \max f(x,y)$，而$\max f(x,y) = \frac{2}{e^2}$？实际上，标准解法中常通过拉格朗日乘数法或对称性分析得最大值点为$(2,2)$，此时$f(2,2)=\frac{8}{e^4}$？这显然不对。重新计算：在$x=y=t$时，$f(t,t)=\frac{2t^2}{e^{2t}}$，求导得最大值在$t=1$，值为$\frac{2}{e^2}$。但标准答案为$4e^{-2}$，说明可能考虑的是$k \geq \frac{x^2+y^2}{e^{x+y}}$恒成立，需$k$不小于上确界。实际上，当$x=2,y=0$时，$f(2,0)=\frac{4}{e^2} > \frac{2}{e^2}$，所以最大值不是$\frac{2}{e^2}$。学生错误地认为最大值在$x=y=1$处取得，而实际上最大值在边界上（如$x=2,y=0$）取得，值为$\frac{4}{e^2}$。因此学生答案数值错误，属于逻辑错误，扣5分。

题目总分：0分