评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为 \(\frac{1}{e}\)，标准答案为 \(-1\)。本题考察幂级数收敛域的确定，核心是通过比值判别法或根值判别法求收敛半径，再单独讨论端点。对一般项 \(u_n(x) = \frac{n!}{n^n} e^{-nx}\)，可令 \(t = e^{-x}\)，则级数化为 \(\sum \frac{n!}{n^n} t^n\)。由比值判别法： \[ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}. \] 收敛半径 \(R = e\)，即 \(|t| < e\) 时收敛，\(|t| > e\) 时发散。当 \(t = e\) 时，一般项为 \(\frac{n!}{n^n} e^n\)，由 Stirling 公式 \(n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)，得一般项 \(\sim \sqrt{2\pi n}\)，不趋于 0，发散；当 \(t = -e\) 时，一般项绝对值趋于无穷，发散。因此 \(t\) 的收敛域为 \((-e, e)\)，即 \(e^{-x} \in (-e, e)\)。但 \(e^{-x} > 0\)，所以 \(0 < e^{-x} < e\)，解得 \(x > -1\)，即收敛域为 \((-1, +\infty)\)，所以 \(a = -1\)。

学生答案 \(\frac{1}{e}\) 是收敛半径的值，而不是收敛域的左端点 \(a\)，属于概念混淆，逻辑错误。因此本题得 0 分。

题目总分：0分