评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"0"，而标准答案是"-1"。该题要求确定级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}e^{-nx}$的收敛域$(a, +\infty)$中的参数$a$。

分析过程：

1. 首先考虑$x=0$时，级数变为$\sum\frac{n!}{n^n}$，由斯特林公式$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$，可得通项$\frac{n!}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n}e^{-n}$，该级数收敛。
2. 当$x>0$时，$e^{-nx}$使级数更快收敛；当$x<0$时，$e^{-nx}$增长，可能使级数发散。
3. 通过比值判别法：$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}e^{-x} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}e^{-x} = e^{-x-1}$
4. 收敛半径要求$e^{-x-1} < 1$，即$-x-1 < 0$，解得$x > -1$。
5. 验证端点$x=-1$时，级数变为$\sum\frac{n!}{n^n}e^{n}$，由斯特林公式知其发散。
6. 因此收敛域为$(-1, +\infty)$，即$a=-1$。

学生答案"0"与正确结果"-1"不符，存在逻辑错误，未能正确应用比值判别法和端点验证。根据评分标准，答案错误得0分。

题目总分：0分