评分及理由

（1）必要性部分得分及理由（满分6分）

学生答案在必要性证明中，思路基本正确，使用了泰勒展开并积分的方法。但存在一个关键逻辑错误：在泰勒展开式中，余项应为 \( \frac{1}{2}f''(\xi)(x - \frac{a+b}{2})^2 \)，其中 \(\xi\) 依赖于 \(x\)，但学生在积分时错误地将 \(f''(\xi)\) 替换为 \(f''(\frac{a+b}{2})\)，即错误地假设了 \(f''(\xi)\) 是常数。这导致论证不严谨，因为 \(f''(\xi)\) 实际上随 \(x\) 变化，不能直接提到积分外。不过，由于 \(f''(x) \geq 0\)，即使正确处理余项，结论仍然成立，但学生的写法存在逻辑漏洞。因此，扣2分。

得分：4分（满分6分）

（2）充分性部分得分及理由（满分6分）

学生答案在充分性证明中，逻辑错误严重。学生试图从不等式直接推出 \(f''(\frac{a+b}{2}) \geq 0\)，但论证不成立。具体来说，学生错误地假设了 \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx - f(\frac{a+b}{2}) = f''(\frac{a+b}{2}) \cdot \frac{1}{2(b-a)} \int_a^b (x - \frac{a+b}{2})^2 dx\)，这仅在 \(f''(x)\) 为常数时成立，但题目中 \(f''(x)\) 可能变化。此外，学生没有使用反证法或处理 \(f''(x)\) 可能为负的情况，导致证明无效。标准答案中使用了反证法和局部性质，而学生答案缺乏这些关键步骤，逻辑不完整。因此，扣4分。

得分：2分（满分6分）

题目总分：4+2=6分