评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生解答分为两部分：计算 \(S_n\) 和求 \(\lim_{n \to \infty} S_n\)。

计算 \(S_n\) 部分：

• 学生正确写出面积公式 \(S_n = \int_0^{n\pi} |e^{-x} \sin x| \, dx\)，并分解为区间和 \(\sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx\)，思路正确。
• 在计算 \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx\) 时，学生使用 \((-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} \sin x \, dx\) 来处理绝对值，这是正确的。
• 学生给出不定积分 \(\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\cos x + \sin x) + C\)，正确。
• 但在计算定积分 \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx\) 时，学生得出结果为 \(\frac{1 + e^{-\pi}}{2} e^{-k\pi}\)，而标准答案为 \(\frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}) e^{-k\pi}\)，数值一致，但学生未化简为与标准答案相同形式，不扣分。
• 求和部分：学生写出 \(S_n = \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \sum_{k=0}^{n-1} e^{-k\pi} = \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \cdot \frac{1 - e^{-n\pi}}{1 - e^{-\pi}}\)，这里求和公式应用正确，但最终表达式与标准答案 \(S_n = \frac{1}{2} + \frac{e^{-\pi}[1 - e^{-(n-1)\pi}]}{1 - e^{-\pi}} + \frac{1}{2} e^{-n\pi}\) 在形式上不同。通过代数变换，学生结果可化为标准答案，因此思路正确，不扣分。

求 \(\lim_{n \to \infty} S_n\) 部分：

• 学生正确计算 \(\lim_{n \to \infty} S_n...