评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生试图证明存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=0。其论证思路是：由∫₀¹f(x)dx=1，假设f(x)≥1，得出矛盾，从而认为存在ξ使f(ξ)=0。但这里存在严重逻辑错误：

1. 从∫₀¹f(x)dx=1不能推出f(x)≥1不成立，实际上可能存在f(x)在某些点大于1，某些点小于1
2. 即使证明了存在ξ使f(ξ)=0，也不能直接得出f'(ξ)=0的结论
3. 证明过程中还出现了"f(x)≥0"的假设，题目并未给出此条件

正确的证明应该使用罗尔定理，考虑函数g(x)=f(x)-x，由f(0)=0，f(1)=1，∫₀¹f(x)dx=1，可以证明存在c∈(0,1)使f(c)=c，再对g(x)应用罗尔定理。

由于核心逻辑错误，本部分得分：0分

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生试图使用泰勒展开证明存在η∈(0,1)使f''(η)<-2：

1. 泰勒展开的基点选择错误，使用了前面错误的ξ
2. 展开式缺少了f'(ξ)(x-ξ)项，这是严重错误
3. 从f(ξ)=0（这个结论本身也是错误的）推出f''(η)=-2f(ξ)/ξ²=0，与要证明的f''(η)<-2矛盾
4. 最后又错误地认为f(ξ)≥1，得出f''(η)<-2

证明过程存在多处逻辑矛盾和错误，本部分得分：0分

题目总分：0+0=0分