2022年考研数学（二）考试试题 - 第11题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"0"，这与标准答案\(\sqrt{e}\)不符。该极限的正确解法是：

\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + e^x}{2} \right)^{\cot x} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{e^x - 1}{2} \right)^{\cot x} \] 令\(t = \frac{e^x - 1}{2}\)，当\(x \to 0\)时\(t \to 0\)，且\(\cot x = \frac{1}{\tan x} \sim \frac{1}{x}\)，于是： \[ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{e^x - 1}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot \ln\left(1 + \frac{e^x - 1}{2}\right)} \] 利用等价无穷小\(\ln(1 + u) \sim u\)和\(e^x - 1 \sim x\)： \[ \frac{1}{x} \cdot \ln\left(1 + \frac{e^x - 1}{2}\right) \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{e^x - 1}{2} \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \] 因此极限值为\(e^{1/2} = \sqrt{e}\)。

学生答案"0"存在明显的逻辑错误，说明学生没有正确理解极限的计算方法，可能是错误地认为底数趋于1而指数趋于无穷大时极限为1，或者错误地应用了极限运算法则。根据评分要求，答案错误应得0分。

题目总分：0分

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