评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(y = x + 2\)，这与标准答案 \(y = x + 2\) 完全一致。

在求解曲线 \(y = x(1 + \arcsin \frac{2}{x})\) 的斜渐近线时，通常需要计算斜率 \(k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}\) 和截距 \(b = \lim_{x \to \infty} (y - kx)\)。

这里 \(k = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 + \arcsin \frac{2}{x})}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \arcsin \frac{2}{x}) = 1 + \arcsin 0 = 1\)。

然后 \(b = \lim_{x \to \infty} \left[ x(1 + \arcsin \frac{2}{x}) - x \right] = \lim_{x \to \infty} x \cdot \arcsin \frac{2}{x}\)。

利用等价无穷小，当 \(x \to \infty\) 时，\(\arcsin \frac{2}{x} \sim \frac{2}{x}\)，所以 \(b = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{2}{x} = 2\)。

因此斜渐近线为 \(y = x + 2\)。学生答案正确，没有逻辑错误，且与标准答案一致，因此得满分4分。

题目总分：4分