评分及理由

（1）求a的值（满分3分）

得分：3分

理由：学生正确利用标准型只有两个平方项推出矩阵A的秩为2，从而行列式为零，解得a=2。计算过程和结果与标准答案一致。

（2）求特征值（满分3分）

得分：3分

理由：学生正确计算了特征多项式并求得特征值为0,6,-3。虽然特征值排列顺序与标准答案不同，但数值完全正确，这不影响最终结果。

（3）求正交矩阵Q（满分5分）

得分：3分

理由：学生正确求出了三个特征向量并进行了单位化，但在以下方面存在错误：

• 特征向量ξ₃=[1,-1,-1]ᵀ计算错误，应为[1,-1,1]ᵀ
• 由于特征向量错误，导致正交矩阵Q的第三列错误
• 最终的标准型表达式6y₁²-3y₂²错误，应为-3y₁²+6y₂²（考虑到特征值对应关系）

扣分：特征向量计算错误扣1分，最终结果错误扣1分，共扣2分。

题目总分：3+3+3=9分