评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“y=-x”，这是一个直线方程。题目要求求曲线在特定点处的法线方程。

首先，曲线方程为 \( \rho = \sqrt{2}e^{4\theta} \)，在 \( \theta_0 = \frac{\pi}{4} \) 处。我们需要先求出该点处的直角坐标。

直角坐标与极坐标的关系为：\( x = \rho \cos\theta, \quad y = \rho \sin\theta \)。

在 \( \theta_0 = \frac{\pi}{4} \) 时，\( \rho_0 = \sqrt{2}e^{4 \cdot \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}e^{\pi} \)。

所以 \( x_0 = \rho_0 \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}e^{\pi} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = e^{\pi} \)，
\( y_0 = \rho_0 \sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}e^{\pi} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = e^{\pi} \)。

因此，该点坐标为 \( (e^{\pi}, e^{\pi}) \)。

接下来需要求曲线在该点处的切线斜率，进而得到法线斜率。

曲线的直角坐标参数方程为：
\( x(\theta) = \rho(\theta)\cos\theta = \sqrt{2}e^{4\theta}\cos\theta \)，
\( y(\theta) = \rho(\theta)\sin\theta = \sqrt{2}e^{4\theta}\sin\theta \)。

求导：
\( \frac{dx}{d\theta} = \sqrt{2}[4e^{4\theta}\cos\theta - e^{4\theta}\sin\theta] = \sqrt{2}e^{4\theta}(4\cos\theta - \sin\theta) \)，
\( \frac{dy}{d\theta} = \sqrt{2}[4e^{4\theta}\sin\theta + e^{4\theta}\cos\theta] = \sqrt{2}e^{4\theta}(4\sin\theta ...