评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是1，与标准答案一致。该极限可以通过拉格朗日中值定理或直接利用反正切函数的差化积公式求解：

方法一（拉格朗日中值定理）：令f(t)=arctan t，在区间[x, x+1]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x, x+1)使得：

arctan(x+1)-arctan x = 1/(1+ξ²)·1

因此原极限 = lim_x→+∞ x²/(1+ξ²)

由于x < ξ < x+1，当x→+∞时，ξ→+∞，故极限值为1。

方法二（差化积公式）：

arctan(x+1)-arctan x = arctan[(x+1-x)/(1+x(x+1))] = arctan[1/(1+x+x²)]

当x→+∞时，1/(1+x+x²) → 0，arctan[1/(1+x+x²)] ~ 1/(1+x+x²)

因此原极限 = lim_x→+∞ x²/(1+x+x²) = 1

学生答案正确，得4分。

题目总分：4分