评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生采用了换元法（令 \( t = \sqrt{e^x - 1} \)）和分部积分法求解该不定积分，思路与标准答案不同但正确。具体步骤包括：

• 正确进行变量替换，得到 \( \int (2t^3 + 2t) \arctan t \, dt \)。
• 正确应用分部积分法，设 \( u = \arctan t \)，\( dv = d\left(\frac{t^4}{2} + t^2\right) \)。
• 正确计算 \( du = \frac{1}{1+t^2} dt \) 和 \( v = \frac{t^4}{2} + t^2 \)。
• 正确进行代数化简，将 \( \int \frac{t^4 + 2t^2}{2(1+t^2)} dt \) 化为 \( \int \left( \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2(1+t^2)} \right) dt \)。
• 正确积分得到 \( \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \arctan t + C \)。
• 正确代回 \( t = \sqrt{e^x - 1} \)，得到最终结果。

尽管最终表达式在形式上与标准答案略有不同（例如 \( \frac{(e^x-1)^2}{2} + e^x - \frac{1}{2} \) 可化简为 \( \frac{e^{2x}}{2} \)），但通过代数验证可知两者等价，因此不扣分。整个过程逻辑严密，计算正确，故得满分10分。

题目总分：10分